Rectas paralelas y perpendiculares.

En geometría plana se dice que dos o más rectas son paralelas cuándo estando en el mismo plano nunca se cruzan, mientras que dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman un ángulo recto. Sin embargo, la descripción analítica de estos conceptos es muy diferente, si se conocen las pendientes de dos rectas se puede establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre ellas (si la hay), mediante la observación de los valores de sus pendientes como sigue.

1. Dos o más rectas son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales, esto es, \(L_1∥L_2⟺m_1=m_2\)
2. Dos rectas son perpendiculares (o normales), sí y solo si, el producto de sus pendientes es \(-1,\) esto es \(L_1⊥L_2 ⟺m_1 m_2=-1\)

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta normal a \(3x+4y-5=0\) en el punto \((1/2, 1/3).\)
Solución: como son normales \(L_1⊥L_2\) entonces \(m_1 m_2=-1,\) donde \(m_1=-a⁄b\) en \(ax+by+c=0.~ m_2\) es la pendiente de la recta normal que se debe determinar.
$$m_1 m_2=-1⟹m_2=-\frac{1}{m_1} ⟺m_2=\frac{-1}{-3⁄4}=\frac43$$ Aplique ahora la ecuación punto pendiente para \(m_2=4/3\) y el punto \((1/2, 1/3)\)
$$y=m(x-x_1)+y_1 ⟹y=\frac43(x-\frac12)+1 ⟹ 3y=4(x-\frac12)+3$$ $$3y=4x-2 ⟹ 4x-3y-1=0$$ es la recta buscada en su forma general.

Ejemplo 2. La recta que pasa por \((2, 4)\) y \((3,-2)\) es normal a la recta que pasa por \((4, 2)\) y \((x,1).\) Determinar el valor de \(x\) para que esto sea cierto.
Solución: si las rectas son normales \(m_1 m_2=-1\) por tanto.
$$\begin{array}{l l} \frac{-2-4}{3-2}\left(\frac{1-2}{x-4}\right)=-1&{\rm Sustituyendo~ los~valores.}\\ -6\left(\frac{-1}{x-4}\right)=-1&{\rm Simplificando}\\ \frac{6}{x-4}=-1&{\rm Multiplicando}\\ 6=-1(x-4)& {\rm Multiplicando}\\ 6=-x+4&{\rm Multiplicando}\\ x=4-6& {\rm Trasposición}\\ x=-2&{\rm Simplificando} \end{array}$$

Ejemplo 3. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por \((3, 4)\) y es paralela a \(7x-3y+13=0.\)
Solución: como la recta buscada es paralela a \(7x-3y+13=0\) sus pendientes son iguales, de donde \(m_2=m=-a/b\Longrightarrow m=-7/3\)
Aplicando ahora la ecuación punto pendiente para \(m=7/3\) y el punto \((3,4).\) $$y=\frac73(x-3)+4 ⟹3y=7x-21+12⟹7x-3y-9=0$$ Ejemplo 4. Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular \(4x-5y+12=0\) y pasa por el punto \((4,8).\)
Solución: como son perpendiculares \(m_1 m_2=-1\) para \(m_1=-a/b\) de donde, $$m_2=\frac{b}{a}=-\frac54$$ Aplicando ahora la ecuación punto pendiente \(y=m(x-x_1)+y_1\) para \(m=-5⁄4\) y el punto \((4,8).\)
\begin{align} &y=-\frac54(x-4)+8\\ &4y=-5(x-4)+32\\ &4y=-5x+20\\ &5x+4y-52=0\end{align} es la recta buscada.

Ejemplo 5. Determinar la ecuación de una recta que es perpendicular a \(x-7y-11=0\) en su intersección con \(3x + 5y -7=0\)

Solución: el punto de intersección entre las rectas es la solución del sistema de ecuación formado por ellas. \(L_3\) es perpendicular a \(L_1=x-7y-11\) de donde \(m_1 m_3=-1.\) Encuentre el punto de intersección de las rectas \(L_1\) y \(L_2,\) despeje \(m_3\) y aplique la ecuación punto pendiente para el punto solución del sistema y \(m_3.\).
Formando el sistema \(L_1\) y \(L_2\) y resolviendo:
$$\left\{\begin{array}1x-7y-11=0\\3x+5y-7=0\end{array}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x=4\\y=-1\end{array}\right.\right.$$ De donde el punto de intersección es \(P(4,-1)\)
Determinando la pendiente \(m_3\) con la relación \(m_1 m_3=-1\) por ser \(L_1 \perp L_3\)
$$-\frac{a}{b}m_3=-1 ⟺ m_3=-1\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{b}{a} ⟹ m_3=-\frac{7}{1}=-7$$ Aplicando la ecuación punto pendiente para \(m=-7\) y \(P(4,-1).\)

Ejemplo 6. Empleando el concepto de pendiente, demuestre que \((6, 5), (-3, 0)\) y \((4, -2)\) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Solución: Si el triángulo es rectángulo debe tener un par de lados perpendiculares y por tanto \(m_1 m_2=-1.\). Así que se debe encontrar dos pendientes que cumplan esta condición.
Sea \(m_1\) la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((6,5)\) y \((-3,0).\)
Sea \(m_2\) la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((6,5)\) y \((4,-2).\)
Sea \(m_3\) la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((-3,0)\) y \((4,-2).\)
$$m_1 m_2=\frac{0-5}{-3-6}\left(\frac{-2-5}{4-6}\right)=\frac{-5}{-9}\left(\frac{-7}{-2}\right)=\frac{35}{18}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$m_1 m_3=\frac{0-5}{-3-6}\left(\frac{-2-0}{4-(-3)}\right)=\left(\frac{-5}{-9}\right)\left(\frac{-2}{7}\right)=\frac{10}{-63}=-\frac{10}{63}$$ $$m_2 m_3=\frac{-2-5}{4-6}\left(\frac{-2-0}{4-(-3)}\right)=\frac{-7}{-2}\left(\frac{-2}{7}\right)=\frac{14}{-14}=-1~~~~~~~~~~~$$ Luego como \(m_2 m_3=-1\) las rectas son perpendiculares y el triángulo formado por las intersecciones de las rectas es un triángulo rectángulo.

Ejemplo 7. La recta que pasa por \((6,-4)\) y \((-3,2)\) es paralela a la que pasa por \((2,1)\) y \((0,y).\) Calcular el valor de \(y\).

Solución: como las rectas son paralelas \(m_1=m_2.\) de donde, \begin{align} m_1=m_2 & ⟹ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}\\ \frac{2-(-4)}{-3-6}&=\frac{y-1}{0-2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{ Sustituyendo~ cada ~término ~por~ su~ valor.}\\ \frac{2+4}{-9}&=\frac{y-1}{-2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{Realizando~ operaciones.}\\ \frac{6}{-9}&=\frac{y-1}{-2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{Simplificando}\\ -2(6)&=-9(y-1)~~~~~~~~~~~\mathrm{Multiplicando~ por~ m.c.m.}\\ -12&=-9y+9~~~ ~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando}\\ -21=&-9y\therefore~y=\frac73~~~~~~~ \mathrm{Despejando~}y \end{align}

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